Einführung in die komplexen Zahlen (2024)

Allgemein läßt sich nicht als reelle Zahl darstellen, denn ist keine reelle Zahl ( das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv ). Die Quadratwurzel aus den negativen reellen Zahlen bilden also eine neue Art von Zahlen, man bezeichnet sie als imaginäre Zahlen.

Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar (x,y) reeller Zahl.

Gaußsche Zahlenebene:

Die komplexe Zahl z kann in einem rechtwinkligen Koordinatenssytem als Punkte der Ebene dargestellt werden

(Gaußsche Zahlenebene).Die waagrechte Koordinatenachse (reelle Achse) entspricht den reellen Zahlen xR, die senkrechte Achse (imaginäre Achse) entspricht den imaginären Zahlen iyR.

Betrag:

Die Zahl |z| = heißt Betrag von z = x+iy. In der Gaußschen Zahlenebene stellt |z| den Abstand des Punktes z vom Nullpunkt dar.

Polarkoordinaten:

Eine Komplexe Zahl z = x+iy bzw. der Punkt P(x,y) ist durch die kartesische Koordinaten x,y festgelegt; z bzw. P(x,y) kann aber auch durch die Länge

r des Ortsvektors und den Winkel j = arg(z) (Argument von z) bestimmt werden. Der Winkel schließt den und die reelle Achse ein.
Die Polarkoordinaten r,j von z = x+iy hängen mit dem kartesischen Koordinaten x,y wie folgt zusammen x = r cosj, y = r sin
r = |z| =
Für eine komplexe Zahl z = x+iy ergibt sich die folgende trigonometrische Darstellung:
z = |z|(cosj+isinj)
Dies wird auch als Eulersche Darstellung (L.Euler, 1707-1783) der komplexen Zahl z bezeichnet

Konjugierte komplexe Zahl:

Bei einer komplexen Zahl z= x+iy wird das Vorzeichen des Imaginärteils invertiert, dabei erhält man die konjugierte komplexe Zahl = x-iy. Dies ist eine Spiegelung an der reellen Achse.

Die Expotentialfunktion kann mit Hilfe der reellen Funktion e^x, cosx und sinx wie folgt für komplexes z=x+iy (x,yÎR) definiert werden:
e^z=e^x(cosy+isiny)

Mit Hilfe der Additionstheoreme folgt e^x1+x2 = e^x1

×e^x2
Für reelles z = x (y = 0) ergibt sich aus e^x(cos0+isin0) erneut der Wert e^x der reellen Exponentialfunktion. Für rein imaginäres z = iy(x = 0) erhält man:
e^iycosy+isiny

Damit kann die trigonometrische Darstellung einer komplexen Zahl wie folgt geschrieben werde:

z = |z|(cosj+isinj)=|z|e^ij

Man multipliziert zwei komplexe Zahlen z₁ = x₁+iy₁ und z₂ = x₂+iy₂, indem man sie formel wie Binome multipliziert und beachtet, daß i² = -1 ist.
z = z₁×z₂ = (x₁+iy₁)×(x₂+iy₂) = (x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁y₂+x₂y₁)

Die Zahlen z₁ = r₁(cosj₁+isinj₁) und z₂ = r₂(cosj₂+isinj₂) werden miteinander multipliziert.

z = z₁

×z₂ = r₁(cosj₁+isinj₁)×r₂(cosj₂+isinj₂) =
= r₁r₂(cosj₁cosj₂-sinj₁sinj₂+icosj₁sinj₂+icosj₂sinj₁)
Additionstheorem für die Kosinus-bzw. Sinusfunktion:

Þ z = z₁×z₂ = r₁r₂[cos(j₁+j₂)+isin (j₁+j₂)]
Man multipliziert komplexe Zahlen miteinander, indem man ihre absolute Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert.

Andere Schreibweise:

Man dividiert eine komplexe Zahl z₁ durch eine komplexe Zahl z₂, indem man den Betrag r₁ von z₁ durch den Betrag r₂ von z₂dividiert und das Argument j₂von z₂ vom Argument j₁ von z₁ subtrahiert.
z₁ : z₂ = r₁(cosj₁+isinj₁) : r₂(cosj₂+isinj₂)
z = z₁ : z₂ = (r₁ : r₂)[cos(j₁-j₂)+isin(j₁-j₂)]

Man zieht aus einer komplexen Zahl w die n-te Wurzel, indem man aus dem Betrag r der Zahl die n-te Wurzel zieht und das Argument j der Zahl durch n dividiert.

Dies ist der sogenannte Hauptwert von .
Außer dem Hauptwert von gibt es noch n-1 andere Werte für . Für irgendeine ganze Zahl k ist nämlich cos(j+2kp) = cosj und sin(j+2kp) = sinj.
Also gilt auch:

Für k = 0 erhält man daraus den Hauptwert.
Für k = 1,2,...,n-1 bekommt man n-1 verschiedene Nebenwerte.

Andere Schreibweise: Die Gleichung zⁿ = w hat genau dann eine Lösung wenn w = 0 ist. Þz = 0
Im Fall w = |w|e^ij ¹ 0 besitzt zⁿ = w genau n Lösungen:

Die Lösungen bilden die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks auf dem Kreis um 0 mit dem Radius

Im Fall zⁿ = 1 erhält man daraus die |w| = 1 und

j = arg(w) = 0 die n-ten Einheitswurzeln

n-te Einheitswurzel für n=6

Sei w ¹ 0 eine komplexe Zahl und liegt die trigonometrische Darstellung vor (w = |w|e^ij). So können ihre Quadratwurzeln leicht berechnet werden.

Ist w = u+iv gegeben, so können die Lösungen von z² = w wie folgt in der Form z = x+iy angegeben werden.

z² = (x+iy)² = (x²-y²+i2xy) = u+iv Trennt man den Real und Imaginärteil, so erhält man die folgenden Gleichungen:
x²-y² = u
2xy = v
2xy = v Þ y = v/2x | v ¹ 0 und x ¹ 0
y = v/2x in x²-y² = u einsetzen

Bemerkung:
Bei der Berechnung der Quadratwurzel mit dem Computer kann es zu numerischen Problemen führen, wenn u negativ ist und v betragsmäßig sehr klein gegenüber u ist. Der Grund dafür sind die begrenzten Stellenanzeigen, die für die Darstellung einer Zahl verfügbar sind.

Man potenziert eine komplexe Zahl mit dem Exponenten n, indem man den Betrag r der Zahl mit n potenziert und das Argument j von z mit n multipliziert.
zⁿ = [r(cosj+isinj)]ⁿ = rⁿ(cosj+isinj)ⁿ = rⁿ[cos(nj)+isin(nj)]